Question

雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），l₁，l₂為其漸近線，F(xiàn)為右焦點，過F作l∥l₂且l交雙曲線C于R，交l₁于M．若

FR

=λ

FM

，且λ∈（

1

2

，

2

3

），則雙曲線的離心率的取值范圍為（　　）

A．（1， 2 ]

B．（ 2 ， 3 ）

C．（ 3 ， 5 ）

D．（ 5 ，+∞）

Answer 1

由題意得l₁：y=-

b

a

x，l₂：y=

b

a

x，l：y=

b

a

(x-c)，
由l交雙曲線C于R，令

y= b a (x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

，解此方程組得R（

a2+c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）
故有

FR

=（

a2-c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）
由l交l₁于M，令

y= b a (x-c) y=- b a x

解此方程組得M（

c

2

，-

bc

2a

）
故有

FM

=（-

c

2

，-

bc

2a

）
由

FR

=λ

FM

，得（

a2-c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）=λ（-

c

2

，-

bc

2a

）
所以

a2-c2

2c

=-

λc

2

，整理得a²=（1-λ）c²，即e²=

1

1-λ

又λ∈（

1

2

，

2

3

），
∴e²∈（2，3），即e∈（

2

，

3

）
故選B