Question

已知函數y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x₀稱為函數f（x）的不動點；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），則稱{a_n} 為由函數f（x）導出的數列．
設函數g（x）=，h（x）=
（1）求函數g（x）的不動點x₁，x₂；
（2）設a₁=3，{a_n} 是由函數g（x）導出的數列，對（1）中的兩個不動點x₁，x₂（不妨設x₁＜x₂），數列求證是等比數列，并求；
（3）試探究由函數h（x）導出的數列{b_n}，（其中b₁=p）為周期數列的充要條件．
注：已知數列{b_n}，若存在正整數T，對一切n∈N^*都有b_n+T=b_n，則稱數列{b_n} 為周期數列，T是它的一個周期．

Answer 1

解：（1）=x，即x²-x-2=0，得x₁=-1，x₂=2，
所以函數g（x）的不動點為x₁=-1，x₂=2．
（2）：a₁=3，a_n+1=g（a_n）=，設c_n=，
則c_n+1====c_n，c₁==4．
所以數列{}是等比數列，公比為，首項為4．
=4•得a_n=．
===2．
（3）：h（x）==x，即cx²+（d-a）x-b=0．
因為△=（d-a）²+4ac＞0，所以該方程有兩個不相等的實數根x₁，x₂．
b₁=p，b_n+1=h（b_n）=，
==•，
則{}是等比數列，首項為，公比為．
因為=（）^n-1，所以=（）^n+T-1．
數列{b_n}為周期數列的充要條件是（）^n-1=（）^n+T-1，即（）^T=1．
故||=1，但x₁≠x₂，從而cx₂+d=-cx₁-d．x₁+x₂=-=-，
故d=-a．
分析：（1）直接解方程=x，求出對應的自變量的值即可；
（2）直接把上面的結論代入并設，求出c_n+1的表達式即可證明求證是等比數列；進而求出{a_n} 的通項公式，即可求；
（3）先利用h（x）==x，得方程有兩個不相等的實數根x₁，x₂；再求出{}是等比數列，首項為，公比為；即可找到由函數h（x）導出的數列{b_n}（其中b₁=p）為周期數列的充要條件．
點評：本題主要考查數列知識和函數知識，屬于難題．基礎較弱的學生建議只做第一，第二問．