Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，，，平面，是線段上靠近的三等分點.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由，故，所以四邊形為菱形，再通過，證得，所以四邊形為正方形，得到.

（2）根據（1）的論證，建立空間直角坐標，設平面的法向量為，由求得，再由，利用線面角的向量法公式求解.

（1）因為，故，

所以四邊形為菱形，

而平面，故.

因為，故，

故，即四邊形為正方形，故.

（2）依題意，.在正方形中，，

故以為原點，所在直線分別為、、軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系；

如圖所示：

不紡設，

則，

又因為，所以.

所以.

設平面的法向量為，

則，

即，

令，則.于是.

又因為，

設直線與平面所成角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.