Question

【題目】如圖，多面體中，四邊形是菱形， ， 相交于， ，點在平面上的射影恰好是線段的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）運用線面垂直的判定定理進行分析推證；（2）建立空間直角坐標系，運用空間向量的知識及數量積公式分析求解：

（Ⅰ）取AO的中點H，連結EH，則EH⊥平面ABCD

∵BD在平面ABCD內，∴EH⊥BD 又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF內

∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H為原點，如圖所示建立空間直角坐標系H-xyz

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH為AE與平面ABCD所成的角，

即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的邊長為4，則

各點坐標分別為,E(0,0, )

易知為平面ABCD的一個法向量，記=， = , =

∵EF//AC，

∴ 設平面DEF的一個法向量為 （注意：此處可以用替代）

即 ＝ ,

令，則，∴

∴

平面DEF與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為.