Question

【題目】正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，且平面，記與的軌跡構成的平面為．

①，使得；

②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；

③與平面所成銳二面角的正切值為；

④正方體的各個側面中，與所成的銳二面角相等的側面共四個．

其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

取中點,中點,中點,先利用中位線的性質判斷點的運動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質即可判斷；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設正方體的棱長為2,進而求解；③由,取為中點,則,則即為與平面所成的銳二面角,進而求解；④由平行的性質及圖形判斷即可.

取中點,連接,則,所以,所以平面即為平面,

取中點,中點,連接,則易證得,

所以平面平面,所以點的運動軌跡為線段,平面即為平面.

①取為中點,因為是等腰三角形,所以,又因為,所以,故①正確；

②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設正方體的棱長為2,當點為中點時,直線與直線所成角最小,此時,；

當點與點或點重合時,直線與直線所成角最大,此時,

所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確；

③與平面的交線為,且,取為中點,則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確；

④正方體的各個側面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確．

故答案為:①②③④