Question

A：如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于點D，BC=4cm，
（1）試判斷OD與AC的關系；
（2）求OD的長；
（3）若2sinA-1=0，求⊙O的直徑．
B：（選修4-4）已知直線l經過點P（1，1），傾斜角α=

3π

4

．
（1）寫出直線l的參數方程；
（2）設l與圓x²+y²=4相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．

Answer 1

分析：A：（1）根據直徑所對的圓周角為直角，以及三角形的中位線定理，可得AC⊥OD；
（2）在△ACB中，BC=4cm且OD是中位線，根據三角形的中位線定理，得OD=

1

2

BC=2cm；
（3）Rt△ADO中，利用正弦的定義結合OD=2cm，得到半徑OA=4cm，從而得到⊙O的直徑長．
B：（1）根據直線的參數方程關于傾斜角的公式，得參數方程為 

x=1+tcos 3π 4 y=1+tsin 3π 4

（t為參數），再化簡整理即可；
（2）將點（1-

2

2

t，1+

2

2

t）代入圓x²+y²=4的方程中，再化簡整理得：t²=2，設方程的兩個根為 t₁，t₂，根據參數方程中t的幾何意義結合一元二次方程根與系數的關系，得到點P到A、B兩點的距離之積|t₁||t₂|=|t₁t₂|=2．

解答：解：（A）（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠C=90°，即AC⊥BC，又∵OD∥BC，
∴AC⊥OD…（3分）
（2）∵O為AB中點，OD∥BC
∴OD為△ACB的中位線
∴OD=

1

2

BC=2cm…（6分）
（3）∵2sinA-1=0，∴sinA=

1

2

∴Rt△ADO中，sinA=

OD

OA

=

1

2

，
又∵OD=2cm，
∴OA=4cm，
因為半徑等于4cm，所以⊙O的直徑是8cm…（10分）
（B）（1）由題意，可得直線的參數方程為 

x=1+tcos 3π 4 y=1+tsin 3π 4

（t為參數）
整理得

x=1- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數）…（3分）
（2）把

x=1- 2 2 t y=1+ 2 2 t

代入圓x²+y²=4的方程中，得(1-

2

2

t)2+(1+

2

2

t)2=4
整理得：t²=2，設方程的兩個根為 t₁，t₂，則

t1+t2=0 t1t2=-2

…（7分）
由參數方程中t的幾何意義可知|t₁|，|t₂|即為點P到A、B兩點的距離，
∴點P到A、B兩點的距離之積|t₁||t₂|=|t₁t₂|=2…（10分）

點評：本題第一問給出一個平面幾何證明問題，著重考查了圓有關的比例線段和三角函數在直角三角形中的定義；第二問結合直線方程的參數方程形式，著重考查了直線的基本量與基本形式和參數方程中參數的意義等知識點，都屬于基礎題．