Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中…是然對數(shù)底數(shù)．

（1）若函數(shù)有兩個不同的極值點， ，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，求使不等式在一切實數(shù)上恒成立的最大正整數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）14

【解析】試題分析：（1）函數(shù)有兩個不同的極值點， 得， 有兩個不同的根，對分類討論：當時，可得在上遞減，不合題意， ，函數(shù)在上遞減，在上遞增，只需，解出即可得出結(jié)果；（2）當時，由題意可得：不等式對題意恒成立，令，令得，利用單調(diào)性可得，整理得，再研究其單調(diào)性即可得出.

試題解析：（1）f′（x）=λex﹣2x，據(jù)題意得f′（x）=λex﹣2x=0有兩個不同的根x1，x2，當λ≤0時，f′（x）=λex﹣2x≤0，因此f（x）在R上遞減，不合題意，∴λ＞0，又f″（x）=λex﹣2，令f″（x）=0，解得，∴函數(shù)f′（x）=λex﹣2x在上遞減，在上遞增，∴f′（x）=λex﹣2x=0有兩個不同的根，則，即，，解得．

（2）當λ=1時，求使不等式f（x）＞g（x）在一切實數(shù)上恒成立，即不等式對任意x恒成立，令，∴，令h′（x）=0得，∴函數(shù)h（x）在上遞減，在上遞增，∴，整理得．令，易得（μ）在（2，+∞）上遞減，若μ=2e2∈（14，15），（2e2）=15﹣2e2＞0，若μ=15，，所以滿足條件的最大整數(shù)μ=14．