Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明： .

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)， 取得極小值；當(dāng)時(shí)， 取得極大值；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ，求導(dǎo)，然后利用求極值的一般步驟即可得到的極值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)， ， ，

則證明上述不等式成立，即證明.

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得.，

再令，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得所以，

所以，即.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，

，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)， 取得極小值；

當(dāng)時(shí)， 取得極大值.

（2）證明：當(dāng)時(shí)， ， ，

所以不等式可變?yōu)?/span>.

要證明上述不等式成立，即證明.

設(shè)，則，

令，得，

在上， ， 是減函數(shù)；在上， ， 是增函數(shù).

所以.

令，則，

在上， ， 是增函數(shù)；在上， ， 是減函數(shù)，

所以，

所以，即，即，

由此可知.