Question

【題目】已知、是橢圓上關于軸對稱的兩點，是的左焦點，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）斜率為的直線過點，和橢圓相交于、兩點，，.點坐標是，設的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據焦點坐標和橢圓的定義求出、，進而求出，確定出橢圓的標準方程；

（2）先聯立方程組得出根與系數關系，再結合，求出的取值范圍，利用點到直線的距離公式求出到的距離，根據弦長公式計算出，借助面積公式求出的關于的函數，利用函數性質求出的范圍．

解：（1）由題意，是橢圓的右焦點，

∵、關于軸對稱，、關于軸對稱，∴.

∵，∴，∴，

又是的左焦點，∴.

∴的標準方程是.

（2）設、（），

由條件可得，直線的方程為，即.

又，，∵，∴.

由方程組得，.

∴，.

∴，解得，.

∴，解得.

∵，∴.

∵，∴點到直線的距離為.

又

∴面積.

∴，即面積的取值范圍是.