Question

【題目】函數f（x），若關于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四個不等的實數根，則a的取值范圍是（ ）

A.B.（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）

C.（﹣∞，﹣1）∪{1}D.（﹣1，0）∪{1}

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用的導函數判斷出的單調區間，由此畫出的大致圖像，令，對的取值進行分類討論，結合的圖像以及方程有四個不相等的實數根列不等式，解不等式求得的取值范圍.

當x≥0時，，

所以當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

且f（0）＝0，當x→+∞時，f（x）→0，當x＜0時，f（x）單調遞減，所以f（x）的圖象如圖所示：

令t＝f（x），則由上圖可知當t＝0或1時，方程t＝f（x）有兩個實根；

當t∈（0，1）時，方程t＝f（x）有3個實數根；

當t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）時，方程t＝f（x）有一個實數根，

所以關于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四個不等的實數根

等價于關于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有兩個實數根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），

當t1＝0，t2＝1時，a＝1，

當t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）時，（02﹣a×0+a﹣a2）（12﹣a×1+a﹣a2）＜0，解得﹣1＜a＜0，

綜上所述，a∈（﹣1，0）∪{1}.

故選：D.