Question

（2013•松江區一模）對于雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定義C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，為其伴隨曲線，記雙曲線C的左、右頂點為A、B．
（1）當a＞b時，記雙曲線C的半焦距為c，其伴隨橢圓C₁的半焦距為c₁，若c=2c₁，求雙曲線C的漸近線方程；
（2）若雙曲線C的方程為x²-y²=1，過點M(-

3

，0)且與C的伴隨曲線相切的直線l交曲線C于N₁、N₂兩點，求△ON₁N₂的面積（O為坐標原點）
（3）若雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB的交點為M，求動點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的a、b、c的關系及橢圓的a、b、c₁的關系及雙曲線的漸近線的方程即可得出；
（2）根據直線與圓相切的性質即可求出切線的斜率，利用兩點間的距離公式即可求出弦長|N₁N₂|，進而即可求出面積；
（3）設出點P、Q的坐標，利用點斜式得出直線PA、QB的方程，聯立即可得出交點M的坐標，反解出點P的坐標，利用代點法即可求出軌跡．

解答：解：（1）∵c=

a2+b2

，c1=

a2-b2

，
由c=2c₁，得

a2+b2

=2

a2-b2

，即a²+b²=4（a²-b²）
可得  

b2

a2

=

3

5

，
∴C的漸近線方程為y=±

15

5

x．
（2）雙曲線C的伴隨曲線的方程為x²+y²=1，設直線l的方程為y=k(x+

3

)，
由l與圓相切知

| 3 k|

1+k2

=1即  3k²=1+k²
解得k=±

2

2

，
當k=

2

2

時，設N₁、N₂的坐標分別為N₁（x₁，y₁）、N₂（x₂，y₂）
由

y= 2 2 (x+ 3 ) x2-y2=1

得x2-

1

2

(x+

3

)2=1，即x2-2

3

x-5=0，
∵△=(2

3

)2-4•(-5)=32＞0，x1+x2=2

3

，x₁x₂=-5．
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2 3 )2-4×(-5)

=4

2

．
∴|N1N2|=

1+( 2 2 )2

|x1-x2|=

3

2

×4

2

=4

3

，
∴S△ON1N2=

1

2

×|N1N2|×1=2

3

；
由對稱性知，當k=-

2

2

時，也有S△ON1N2=2

3

．
（3）設P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），又A（-2，0）、B（2，0），
∴直線PA的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)…①
直線QB的方程為y=

-y0

x0-2

(x-2)…②
由①②得

x0= 4 x y0= 2y x

∵P（x₀，y₀）在雙曲線

x2

4

-

y2

2

=1上，
∴

42 x2

4

-

4y2 x2

2

=1，∴

x2

4

+

y2

2

=1．
因此動點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，其方程為

x2

4

+

y2

2

=1．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義與性質及直線與圓錐曲線的相交、相切問題的解題模式及弦長公式、點到直線的距離公式是解題的關鍵．