Question

（2013•綿陽二模）已知函數f（x），若對給定的三角形ABC，它的三邊的長a、b、c均在函數f（x）的定義域內，都有f（a）、f（b）、f（c）也為某三角形的三邊的長，則稱f（x）是△ABC的“三角形函數”．下面給出四個命題：
①函數f₁（x）=

x

，x∈（0，+∞）是任意三角形的“三角形函數”；
②若定義在（O，+∞）上的周期函數f₂（x）的值域也是（0，+∞），則f₂（x）是任意三角形的“三角形函數”；
③若函數f₃（x）=x³-3x+m在區間（

2

3

，

4

3

）上是某三角形的“三角形函數”，則m的取值范圍是（

62

27

，+∞）
④若a、b、c是銳角△ABC的三邊長，且a、b、c∈N₊，則f₄（x）=x²+lnx（x＞0）是△ABC的“三角形函數”．
以上命題正確的有

①④

（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：判斷函數f（x）是不是“三角形函數”，只須對任意的三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數之和大于第三個數，即任意兩邊之和大于第三邊即可．
①f₁（x）=

x

中，設△的三邊長分別為a，b，c，且a+b＞c，有f（a）+f（b）=

a

+

b

＞

a+b

＞

c

=f（c）；
②f₂（x）中，舉反例說明命題不成立；
③f₃（x）中，利用導函數判斷函數在x∈（

2

3

，

4

3

）上的增減性并比較大小，從而確定m的取值范圍；
④銳角△ABC的三邊長a、b、c，設a≤c，b≤c，驗證f（a）+f（b）＞f（c）是否成立．

解答：解：①對于f₁（x）=

x

，x∈（0，+∞），設△的三邊長分別為a，b，c，且a+b＞c，不妨設a≤c，b≤c，則f（a）+f（b）=

a

+

b

＞

a+b

，
f（c）=

c

＜

a+b

，∴f（a）+f（b）＞f（c），命題正確；
②對于定義在（O，+∞）上的周期函數f₂（x），值域是（0，+∞），設T（T＞0）是f₂（x）的一個周期，則存在n＞m＞0，有f₂（m）=1，f₂（n）=2，
取正整數λ＞

n-m

T

，則λT+m，λT+m，n，是△的三邊，又f₂（λT+m）=1，f₂（λT+m）=1，f₂（n）=2不能組成三角形，∴命題錯誤；
③對于函數f₃（x）=x³-3x+m，∵f3′（x）=3x²-3，∴f₃（x）在（-1，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，又x∈（

2

3

，

4

3

），
∴f₃（1）＜f₃（

2

3

）＜f₃（

4

3

）；要使f₃（x）是某三角形的“三角形函數”，須f₃（

4

3

）=(

4

3

)3-3×

4

3

+m＞0，∴m＞

44

27

，∴命題錯誤；
④對于銳角△ABC的三邊長a、b、c，設a≤c，b≤c，∴c＜a+b≤2c；∴ln（a+b）＞lnc，有a²+b²-c²＞0，a、b、c∈N₊，
∴當a≥2，且b≥2時，有0＜

1

a

+

1

b

≤1；∴

1

1 a + 1 b

≥1，即ln

1

1 a + 1 b

≥0，∴ln

ab

a+b

≥0；即ln（ab）-ln（a+b）≥0，∴lna+lnb≥ln（a+b）＞lnc；
當a=1時，b=2，c=2；當a=1時，b=1，c=1；
綜上，知f（a）+f（b）＞f（c）；命題正確．
故答案為：①④

點評：本題通過命題真假的判定，考查了新定義下的函數模型的應用問題，是比較容易出錯的題目．