Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，是的中點，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析,（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連結交于點，連結，可知，根據線面平行的判定定理，證明即可.

（Ⅱ）法一: 由，，可知，即，根據平面，可知平面，即，，以為原點，，，所在直線分別為，， 軸，建立空間直角坐標系，求各點坐標，計算平面的法向量為，平面的法向量為，根據，求解即可. 法二：延長、交于，連接，過作于，過作于，連接，則平面，，又，所以平面，為平面與平面所成銳二面角的平面角. 由，，，計算

，，利用，求解，即可.

（Ⅰ）證明：連結交于點，連結.

則為中點，為中位線.

所以.

又平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）法一：因為，是的中點，所以.

又因為，所以，則

即，所以.

又因為平面，所以建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，.

平面的法向量為.

設平面的法向量為，則由，，得

令，則，.

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

法二：延長、交于，連接，過作于，

過作于，連接，

則平面，，又，所以平面，

為平面與平面所成銳二面角的平面角.

中，，所以高為中線，，，

∵，∴，∴，

中，，

，∴

中，，，

所以平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值為.