Question

【題目】已知圓的半徑為2，為平面上一點(diǎn)，，是圓上動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn)．

（1）以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)（1）中點(diǎn)軌跡與直線相交于兩點(diǎn)，求三角形的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出，進(jìn)而得到．由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，求出方程即可；

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得出關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出，，進(jìn)而求出弦長公式的代數(shù)式，然后利用三角形面積公式得到關(guān)于三角形面積的關(guān)于的代數(shù)式，利用整體思想再結(jié)合基本不等式求出最值即可．

解：（1）以所在直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖

因?yàn)?/span>，連，由已知，得，所以．

由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為．

（2）由（1）知，點(diǎn)軌跡是橢圓，

與交于，，

由

消去得．

，．

故

令，，

．