Question

對于任意實數x，符號[x]表示不超過x的最大整數，如[4.3]=4、[-2.3]=-3、[4]=4，函數f（x）=[x]叫做“取整函數”，也叫做高斯（Gauss）函數．這個函數在數學本身和生產實踐中都有廣泛的應用．
從函數f（x）=[x]的定義可以得到下列性質：x-1＜[x]≤x＜[x+1]；與函數f（x）=[x]有關的另一個函數是g（x）={x}，它的定義是{x}=x-[x]，函數g（x）={x}叫做“取零函數”，這也是一個常用函數．
（1）寫出f（5.2）的值及g（x）的值域；
（2）若F（n）=f（log₂n）（1≤n≤2¹⁰，n∈N），寫出F（x）的解析式；
（3）求F（1）+F（2）+F（3）+…+F（16）的值．

Answer 1

分析：（1）根據“取整函數”的定義，及“取零函數”的定義，可得當x為非負數或負整數時，g（x）值即為x的小數部分當x為負非整數時，g（x）值即為x的小數部分與1的和，進而得到f（5.2）的值及g（x）的值域；
（2）根據“取整函數”的定義，及對數的運算性質，分類討論，可得F（x）的分段函數形式的解析式
（3）結合（2）中函數的解析式，代入分別計算出F（1），F（2），F（3），…，F（16）的值，進而得到F（1）+F（2）+F（3）+…+F（16）的值．

解答：解：（1）∵f（x）=[x]
∴f（5.2）=[5.2]=5
由“取整函數”的定義及g（x）={x}=x-[x]，
當x為非負數或負整數時，g（x）值即為x的小數部分
當x為負非整數時，g（x）值即為x的小數部分與1的和
故g（x）的值域為[0，1）
（2）∵F（n）=f（log₂n）（1≤n≤2¹⁰，n∈N）
∴F（n）=

0，n=1 1，2≤n＜4 2，4≤n＜8 3，8≤n＜16 4，16≤n＜32 5，32≤n＜64 6，64≤n＜128 7，128≤n＜256 8，256≤n＜512 9，512≤n＜1024 10，n=1024

（3）由（2）得
F（1）+F（2）+F（3）+…+F（16）
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+4
=38

點評：本題考查的知識點是函數的值，函數的值域，分段函數解析式的求法，其中正確理解新定義的含義是解答的關鍵．