Question

已知A、B、C分別是△ABC的三個內角，且cosA•cos（A-B）=cosB．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若tanA=2，求tanC的值．

Answer 1

分析：（1）先利用兩角差的余弦公式將已知三角恒等式展開，進而利用同角三角函數基本關系式及倒用兩角差的正弦公式，結合三角形中角的取值范圍即可得三角形角間的關系，進而判斷三角形形狀；（2）由（1）可知A=B，故利用誘導公式和三角形內角和定理可得tanC=-tan2A，進而利用二倍角的正切公式求得結果

解答：解：（1）由已知，得cosA（cosAcosB+sinAsinB）=cosB，
即（1-cos²A）cosB=sinAcosAsinB，
亦即sin²AcosB=sinAcosAsinB．
因為sinA＞0，所以sinAcosB=cosAsinB，
于是sin（A-B）=0．
又-π＜A-B＜π，從而A=B．
故△ABC是等腰三角形．
（2）在△ABC中，有C=π-（A+B）=π-2A，
所以tanC=tan（π-2A）=-tan2A．
由tanA=2得tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-

4

3

所以tanC的值為

4

3

．

點評：本題考查了三角變換公式在化簡函數式中的應用，三角形形狀的判斷方法，解三角形的知識