Question

在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側棱PB，PC的中點，若截面AMN⊥側面PBC，則此三棱錐的側面與底面所成的角的正切值是

5

．

Answer 1

分析：先作出二面角的平面角，即取BC中點D，可證明∠ADP就是側面與底面所成的二面角的平面角，再利用截面AMN⊥側面PBC的特點，證明△PAD是等腰三角形，從而溝通了側棱長和底面邊長間的關系，最后在直角三角形中計算tan∠ADO即可

解答：解：如圖，取MN中點O，連接AO，PO，延長PO交BC于點D，連接
AD，則BD=DC
∵三棱錐P-ABC為正三棱錐
∴AM=AN
∴AO⊥MN
∵截面AMN⊥側面PBC
∴AO⊥側面PBC
∴AO⊥PD，又PO=OD
∴PA=AD，且∠ADO就是側面與底面所成的二面角的平面角
設AB=a，則AD=

3

2

a=PA
∵PD=

( 3 a 2 )2-( a 2 )2

=

2

2

a
∴OD=

2

4

a∴AO=

( 3 a 2 )2-( 2 a 4 )2

=

10

4

a
在Rt△AOD中，tan∠ADO=

AO

OD

=

10 4 a

2 4 a

=

5

∴三棱錐的側面與底面所成的角的正切值是

5

故答案為

5

點評：本題考查了正三棱錐的性質，二面角的求法和面面垂直的性質，解題時要有空間想象力，要能恰當的溝通未知量之間的關系，能夠用轉化的思想方法將空間問題化為平面問題