Question

【題目】設為實數，.證明：

(1)把寫成無窮乘積有唯一的表達式其中，為正整數，滿足；

(2)是有理數，當且僅當它的無窮乘積具有下列性質：存在，對所有的，滿足

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）用歸納法來構造數列和比滿足對所有的.

取為滿足下列式子的最小的：.

因此，對于每個，.

故 .

因為，，所以，.

從而，.

無窮乘積的唯一性可以由在上述遞推步驟中必須滿足式①得到.

事實上，若對于某一個有，則，.

于是，就不能收斂于1.

注意到，對于，有

.②

假設對于某些，有，則

，矛盾.

（2）由式②，知當乘積按上述方式終止時，是有理數.

另一方面，設是有理數，且.

下面證明：存在，使得.

若不然，則對于所有的有.

對每一個，將寫成分數的形式（不必是最簡形式），其中，，，一般地，，，為正整數.

為得到矛盾，只需證明數列是嚴格遞減的.

事實上，，

這是由于.