Question

設函數f（x）的定義域D關于原點對稱，0∈D，且存在常數a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

，
（1）寫出f（x）的一個函數解析式，并說明其符合題設條件；
（2）判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（3）若存在正常數T，使得等式f（x）=f（x+T）或者f（x）=f（x-T）對于x∈D都成立，則都稱f（x）是周期函數，T為周期；試問f（x）是不是周期函數？若是，則求出它的一個周期T；若不是，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）取f（x）=tanx，滿足要求；
（2）可用賦值法，取x₁=0，x₂=x，由f(x1-x2)  =

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

可證明f（x）是D上的奇函數；
（3）由f(x-a)=

f(x)-f(a)

1+f(x)f(a)

=

f(x)-1

1+f(x)

，可求得f(x-2a)= -

1

f(x)

，從而可求得f（x-4a）=f（x），f（x）是周期函數，T=4a．

解答：解：（1）取f（x）=tanx，定義域為{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}關于原點對稱，且0∈D；且存在常數a=

π

4

使得
f（a）=tana=1；又由兩角差的正切公式知，f(x1-x2)  =

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

符合．…（4分）
（2）f（x）是D上的奇函數；
證明如下：f（0）=0，取x₁=0，x₂=x，由f(x1-x2)  =

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)f(x2)

得f（-x）=-f（x），所以f（x）是D上的奇函數；…（4分）
（3）考察f（x）=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜測4a是f（x）的一個周期．
證明：由已知f(x-a)=

f(x)-f(a)

1+f(x)f(a)

=

f(x)-1

1+f(x)

，則f(x-2a)=f[(x-a)-a]=

f(x-a)-1

1+f(x-a)

=[

f(x)-1

1+f(x)

-1 ]  ÷[1+

f(x)-1

1+f(x)

] = -

1

f(x)

，
∴f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-

1

f(x-2a)

=f(x)．
所以f（x）是周期函數，4a是f（x）的一個周期．…（7分）

點評：本題考察函數奇偶性的判斷，著重考查學生賦值法的應用，考查學生對周期函數性質的把握與運用，屬于難題．