Question

【題目】已知數列的各項均為正數，記數列的前n項和為，數列的前n項和為，且.

（1）求的值；

（2）求數列的通項公式；

（3）若，且成等比數列，求k和t的值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）.（3）.

【解析】

（1）令代入遞推關系，即可求得的值；

（2）連續兩次利用“臨差法”，即多遞推一項再相減，從而構造出這一遞推關系，再利用等比數列通項公式，即可得答案；

（3）由（2）可知，由成等比數列，可得，即，再根據等式兩邊奇、偶數的特點，推理得到k和t的值.

（1）由，得，即.

因為，所以.

（2）因為，①

所以，②

②－①，得.

因為，

所以，③

所以，④

④－③，得，即，

所以當時，.

又由，得，

即.

因為，所以，所以，所以對，都有成立，

所以數列的通項公式為.

（3）由（2）可知.

因為成等比數列，

所以，即，

所以，即.

由于，所以，即.

當時，，得.

當時，由，得為奇數，

所以，即，代入(*)得，即，此時k無正整數解.

綜上，.