Question

【題目】2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程，某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）現從年齡在，，內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用表示年齡在）內的人數，求的分布列和數學期望；

（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查，其中有名市民的年齡在的概率為．當最大時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析,

（2）

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖及抽取總人數，結合各組頻率值即可求得各組抽取的人數；的可能取值為0，1，2，由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數學期望公式即可求得其數學期望.

（2）先求得年齡在內的頻率，視為概率.結合二項分布的性質，表示出，令，化簡后可證明其單調性及取得最大值時的值．

（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中，

年齡在的人數為人，

年齡在內的人數為人．

年齡在內的人數為人．

所以的可能取值為0，1，2．

所以，

，

，

所以的分市列為

	0	1	2

．

（2）設在抽取的20名市民中，年齡在內的人數為，服從二項分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內的頻率為，

所以，

所以．

設，

若，則，；

若，則，．

所以當時，最大，即當最大時，．