Question

設函數f(x)=lnx－ax+－1.

(1) 當a=1時, 過原點的直線與函數f(x)的圖象相切于點P, 求點P的坐標;

(2) 當0＜a＜時, 求函數f(x)的單調區間；

(3) 當a=時, 設函數g(x)=x²－2bx－, 若對于x₁∈, [0, 1]使f(x₁)≥g(x₂)成立, 求實數b的取值范圍.（e是自然對數的底, e＜+1）.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 增區間為減區間為， (3)

【解析】

試題分析：函數的定義域為，                 （2分）

（1）設點，當時，，則，，∴                  （3分）

解得，故點P 的坐標為                             （4分）

（2）

∵ ∴                                   （6分）

∴當，或時，當時，

故當時，函數的單調遞增區間為；

單調遞減區間為，                                  （8分）

（3）當時，由（Ⅱ）可知函數在上是減函數，在上為增函數，在上為減函數，且，

∵，又，∴，

∴，故函數在上的最小值為         （10分）

若對于，使 ≥成立在上的最小值不大于

在上的最小值（*）     （11分）

又，

①當時，在上為增函數，與（*）矛盾

②當時，，由及得，

③當時，在上為減函數，，

此時

綜上，的取值范圍是（14分）

考點：曲線的切線，函數單調性最值

點評：第一問函數曲線與某直線相切時，充分利用切點坐標與直線曲線的聯系尋求關系式，第二問求單調區間主要通過導數的正負分別求得單調增減區間，第三問首先將不等式問題轉化為函數最值問題，須認真分析清楚需要比較的是最大值還是最小值，這一點是容易出錯的地方