Question

（2009全國卷Ⅱ理）（本小題滿分12分）

  已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當的斜率為1時，坐標原點到的距離為

  （I）求，的值；

  （II）上是否存在點P，使得當繞F轉到某一位置時，有成立？

若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解:(I）設，直線，由坐標原點到的距離為

 則，解得.又.

（II）由(I）知橢圓的方程為.設、

由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設

代入橢圓的方程中整理得，顯然。

由韋達定理有：．．．．．．．．①

.假設存在點P，使成立，則其充要條件為：

點，點P在橢圓上，即。

整理得。

又在橢圓上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

將及①代入②解得

,=,即.

當;

當.