Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，設點F（1，0），直線l：x=﹣1，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求動點Q的軌跡的方程；
（2）記Q的軌跡的方程為E，過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M，N．求證：直線MN必過定點R（3，0）．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知，直線l的方程為：x=﹣1，設直線l與x軸交于點K（﹣1，0），由OK平行于直線l可得，

OR是△FPK的中位線，故點R是線段FP的中點．

又RQ⊥FP，∴RQ是線段FP的垂直平分線．∴|PQ|是點Q到直線l的距離．

∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴|PQ|=|QF|．

故動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為：y2=4x（x＞0）

（2）解：設A（xA，yA），B（xB，yB），M（xM，yM），N（xN，yN），直線AB的方程為y=k（x﹣1）

則 （1）﹣（2）得 ，即 ，

代入方程y=k（x﹣1），解得 ． 所以點M的坐標為 ．

同理可得：N的坐標為（2k2+1，﹣2k）． 直線MN的斜率為 ，

方程為； ，整理得y（1﹣k2）=k（x﹣3），

顯然，不論k為何值，（3，0）均滿足方程，所以直線MN恒過定點R（3，0）

【解析】（1）由已知條件知，點R是線段FP的中點，RQ是線段FP的垂直平分線，點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，寫出拋物線標準方程．（2）設出直線AB的方程，把A、B坐標代入拋物線方程，再利用中點公式求出點M的坐標，同理可得N的坐標，求出直線MN的斜率，得到直線MN的方程并化簡，可看出直線MN過定點．