Question

【題目】已知函數，函數.

（Ⅰ）判斷函數的單調性；

（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 故函數在上單調遞增，在上單調遞減;(2) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據題意得到的解析式和定義域，求導后根據導函數的符號判斷單調性．（Ⅱ）分析題意可得對任意， 恒成立，構造函數，則有對任意， 恒成立，然后通過求函數的最值可得所求．

試題解析：

（I）由題意得， ， ∴ .

當時， ，函數在上單調遞增；

當時，令，解得；令，解得.

故函數在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（II）由題意知.

，

當時，函數單調遞增．

不妨設 ，又函數單調遞減，

所以原問題等價于：當時，對任意，不等式 恒成立，

即對任意， 恒成立.

記，

由題意得在上單調遞減.

所以對任意， 恒成立.

令， ，

則在上恒成立.

故，

而在上單調遞增，

所以函數在上的最大值為.

由，解得.

故實數的最小值為．