Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，討論函數的零點個數；

（2）若在上單調遞增，且求c的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）將代入可得,令,則,設,則轉化問題為與的交點問題,利用導函數判斷的圖象,即可求解；

（2）由題可得在上恒成立,設,利用導函數可得,則,即,再設,利用導函數求得的最小值,則,進而求解.

（1）當時,,定義域為,

由可得,

令,則,

由,得；由,得,

所以在上單調遞增,在上單調遞減,

則的最大值為,

且當時,；當時,,

由此作出函數的大致圖象,如圖所示.

由圖可知,當時,直線和函數的圖象有兩個交點,即函數有兩個零點；

當或,即或時,直線和函數的圖象有一個交點,即函數有一個零點；

當即時,直線與函數的象沒有交點,即函數無零點.

（2）因為在上單調遞增,即在上恒成立,

設,則,

①若,則,則在上單調遞減,顯然,

在上不恒成立；

②若,則,在上單調遞減,當時,,故,單調遞減,不符合題意；

③若,當時,,單調遞減,

當時,,單調遞增,

所以,

由,得,

設,則,

當時,,單調遞減；

當時,,單調遞增,

所以,所以,

又,所以,即c的最大值為2.