Question

【題目】已知函數f1(x)＝x2，f2(x)＝alnx(其中a>0)．

(1)求函數f(x)＝f1(x)·f2(x)的極值；

(2)若函數g(x)＝f1(x)－f2(x)＋(a－1)x在區間(，e)內有兩個零點，求正實數a的取值范圍；

(3)求證：當x>0時，.(說明：e是自然對數的底數，e＝2.71828…)

Answer 1

【答案】(1) 函數f(x)的極小值為，無極大值．

(2) ．

(3)見解析.

【解析】分析：（1）求，求出方程的解，確定兩側的正負，得極值；

（2）求出，確定出在上遞減，在上遞增，結合零點存在定理可知在上有兩個零點的條件，得出的范圍；

（3）不等式可變形為，其中由（1）知的最小值為，下面只要求得的最大值，證明此最大值即可.

詳解： (1)∵f(x)＝f1(x)·f2(x)＝ax2·lnx，

∴f ′(x)＝axlnx＋ax＝ax(2lnx＋1)(x>0，a>0)，

由f ′(x)>0，得x>e－，由f ′(x)<0，得0<x<e－，

故函數f(x)在(0，e－)上單調遞減，在(e－，＋∞)上單調遞增，

所以函數f(x)的極小值為f(e－)＝－，無極大值．

(2)函數g(x)＝x2－alnx＋(a－1)x，

則g′(x)＝x－＋(a－1)＝＝，

令g′(x)＝0，∵a>0，解得x＝1，或x＝－a(舍去)，

當0<x<1時，g′(x)<0，g(x)在(0,1)上單調遞減；

當x>1時，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上單調遞增．

函數g(x)在區間(，e)內有兩個零點，

只需即∴

故實數a的取值范圍是(，)．

(3)問題等價于x2lnx>－.由(1)知f(x)＝x2lnx的最小值為－.

設h(x)＝－，h′(x)＝－，

易知h(x)在(0,2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減． 10分

∴h(x)max＝h(2)＝－，∵－－(－)＝－－＝＝>0，

∴f(x)min>h(x)max，∴x2lnx>－，故當x>0時，lnx＋－>0.