Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=2，Sn-4Sn-1-2=0（n≥2，n∈Z）．

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）令bn=log2an，Tn為{bn}的前n項和，求證 ＜2．

Answer 1

【答案】（1）an=22n-1．（2）見解析

【解析】試題分析：（I）利用數列遞推關系、等比數列的通項公式即可得出．

（II）利用“裂項求和”方法、數列的單調性即可得出．

試題解析：

（Ⅰ）當n≥3時，可得Sn-4Sn-1-2-（Sn-1-4Sn-2-2）=0（n≥2，n∈Z）．∴an=4an-1，

又因為a1=2，代入表達式可得a2=8，滿足上式．

所以數列{an}是首項為a1=2，公比為4的等比數列，故：an=2×4n-1=22n-1．

（Ⅱ）證明：bn=log2an=2n-1．

Tn==n2．

n≥2時，=＜=． ≤1++…+=2-＜2．