Question

【題目】在正三角形中，、、分別是、、邊上的點，滿足（如圖1）.將△沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結、（如圖2）

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）取BE的中點D，連結DF∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF是正三角形，AE=DE=1，∴EF⊥AD，在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角．∴A1E⊥BE∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP（Ⅱ）

【解析】

試題不妨設正三角形ABC 的邊長為 3 .

(I)在圖1中，取BE的中點D，連結DF．

∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF是正三角形，

又AE=DE=1，∴EF⊥AD． 2分

在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角．

由題設條件知此二面角為直二面角，∴A1E⊥BE．

又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP． .4分

(II)建立分別以ED、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，則E(0,0,0),A(0,0,1),

B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),則,．

設平面ABP的法向量為，

由平面ABP知，，即

令，得，．

，設平面AFP的法向量為．

由平面AFP知，，即

令，得，．

,

所以二面角B-A1P-F的余弦值是 13分