Question

【題目】已知函數.

（1）若在處的切線與軸平行，求的極值；

（2）當或時，試討論方程實數根的個數.

Answer 1

【答案】（1）極大值，無極小值（2）當時，方程沒有實數根；當時，方程有1個實數根

【解析】

（1），，根據在處的切線與軸平行，則，解得，然后求極值.

（2）將方程實數根的個數，轉化為實數根的個數，令，轉化為函數的零點問題，分， ，，三種情況，利用導數法進行分類討論.

（1），，

由條件可得，解之得，

，，

令可得或（舍去）.

當時，；當時，.

即在上單調遞增，在上單調遞減，

故有極大值，無極小值；

（2）設，

則.

①當時，，當時，，當時，，

故有極大值，此時，方程沒有實數根；

②當時，由可得*

由可知，*有兩個實數根，

不妨設為，

則，則必有，

且當時，當時，，

即在上單調遞增，在上單調遞減，

故有極大值，

方程沒有實數根.

③當時，，，即在上單調遞增，

，，，

設，易得在上遞減，且，故.

當時，，

，

即，方程有1個實數根.

綜上可知，當時，方程沒有實數根，

當時，方程有1個實數根.