Question

（本小題滿分14分）已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數.

（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）A={a|－1≤a≤1}.（2）存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

解析:

（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數，

∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(x)=x²－ax－2，

方法一：

           (1)=1－a－2≤0，

①                        －1≤a≤1，

               (－1)=1+a－2≤0.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.   

 方法二：

       ≥0，                   <0，

①                     或

           (－1)=1+a－2≤0          (1)=1－a－2≤0

       0≤a≤1         或       －1≤a≤0

       －1≤a≤1.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數，且只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=-1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根，

  x₁+x₂=a，x₁x₂=－2，

∴   從而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

     g(－1)=m²－m－2≥0，

②   g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當m=0時，②顯然不成立；

當m≠0時，

      m>0，                m<0，

②                  或

       g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.