Question

【題目】如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CE的中點G，連FG、BG．

∵F為CD的中點，

∴GF∥DE且GF= DE．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB．

又AB= DE，∴GF=AB．

∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．

∵AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（2）證明：∵△ACD為等邊三角形，F為CD的中點，

∴AF⊥CD．

∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，

∴BG⊥平面CDE．

∵BG平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE

【解析】（1）取CE的中點G，連結FG、BG．由已知條件推導出四邊形GFAB為平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．（2）由等邊三角形性質得AF⊥CD，由線面垂直得DE⊥AF，從而AF⊥平面CDE，由平行線性質得BG⊥平面CDE，由此能證明平面BCE⊥平面CDE
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．