Question

數列{a_n}滿足：a1=2，an=1-

1

an-1

（n=2，3，4，…），若數列{a_n}有一個形如a_n=Asin（ωn+φ）+B的通項公式，其中A、B、ω、φ均為實數，且A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，則a_n=

 

．（只要寫出一個通項公式即可）

Answer 1

分析：由題設得到a2=

1

2

，a₃=-1，a₄=2，因為數列有個形如a_n=Asin（ωn+φ）+B的通項公式，而數列的周期是3，所以

2π

ω

=3，ω=

2π

3

，由此可以得到它的一個通項公式可以是a_n=3sin（(

2π

3

n-

π

3

)+

1

2

．

解答：解：an=1-

1

an-1

，a₁=2，由此得到a2=

1

2

，a₃=-1，a₄=2，
因為數列有個形如a_n=Asin（ωn+φ）+B的通項公式，
而數列的周期是3，所以

2π

ω

=3，ω=

2π

3

，
代入得Asin（

2π

3

+φ）+B=2，Asin（

4π

3

+φ）+B=

1

2

，Asin（2π+φ）+B=-1
解得A=

3

，B=

1

2

，φ=-

π

3

，
所以其中一個通項公式可以是a_n=3sin（(

2π

3

n-

π

3

)+

1

2

．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意三角函數的應用．