Question

函數y=f（x）定義在R上單調遞減且f（0）≠0，對任意實數m、n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=φ，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用f（m+n）=f（m）•f（n）及y=f（x）為單調遞減函數，化簡集合A，得到確定出集合A中元素為圓心是原點，半徑為1的單位圓內的點組成的集合；令m=n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n），根據f（0）≠0，得到f（0）的值，進而根據f（x）單調，把集合B中的1變為f（0），進而確定出集合B為直線ax-y+2=0上點組成的集合，根據題意畫出函數圖象，先求出直線與圓相切時的a的值，根據圖象寫出滿足題意的a的范圍即可．

解答：解：由集合A中的不等式f（x²）•f（y²）＞f（1），
變形為：f（x²）•f（y²）=f（x²+y²）＞f（1），
又函數y=f（x）定義在R上單調遞減，得到x²+y²＜1，
即集合A是圓心為（0，0），半徑為1的圓內的所有的點所構成的集合；
令m=0，n=0，得到f（0+0）=f（0）•f（0），即f（0）[f（0）-1]=0，又f（0）≠0，
所以f（0）=1，則集合B中的等式f（ax-y+2）=1=f（0），由函數y=f（x）單調，
得到ax-y+2=0，即集合B是直線ax-y+2=0上的點的坐標構成的集合，
根據題意畫出圖象，如圖所示：

由A∩B=∅，所以圓與直線沒有交點，特殊情況為直線ax-y+2=0與圓x²+y²=0相切，
圓心到直線的距離d=

2

a2+1

=1，解得a=

3

或-

3

，
則滿足題意的a的取值范圍是：-

3

≤a≤

3

．
故答案為：-

3

≤a≤

3

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，考查了數形結合的思想，是一道中檔題．