Question

【題目】2018年11月5日至10日，首屆中國國際進口博覽會在國家會展中心（上海）舉行，吸引了58個“一帶一路”沿線國家的超過1000多家企業參展，成為共建“一帶一路”的又一個重要支撐.某企業為了參加這次盛會，提升行業競爭力，加大了科技投入.該企業連續6年來的科技投入（百萬元）與收益（百萬元）的數據統計如下：

科技投入	2	4	6	8	10	12
收益	5.6	6.5	12.0	27.5	80.0	129.2

并根據數據繪制散點圖如圖所示：

根據散點圖的特點，甲認為樣本點分布在指數曲線的周圍，據此他對數據進行了一些初步處理.如下表：

43.5	4.5	854.0	34.7	12730.4	70

其中，.

（1）（i）請根據表中數據，建立關于的回歸方程（保留一位小數）；

（ii）根據所建立的回歸方程，若該企業想在下一年收益達到2億，則科技投入的費用至少要多少？（其中）

（2）乙認為樣本點分布在二次曲線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關指數，試比較甲乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好.

附：對于一組數據，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，相關指數：.

Answer 1

【答案】（1）（i）（ii）科技投入的費用至少要13.2百萬元，下一年的收益才能達到2億.；（2）甲建立的回歸模型擬合效果更好.

【解析】

（1）（i）令，，則，根據最小二乘估計，，則，從而確定關于的回歸方程即可. （ii）令，解得的取值范圍即可.

（2）先計算甲建立的回歸模型的殘差，，再計算甲模型的相關指數，與乙模型的相關指數比較大小，即可.

（1）（i），令；

令，則.

根據最小二乘估計可知：

從而，故回歸方程為，即.

（ii）設，解得，即

故科技投入的費用至少要13.2百萬元，下一年的收益才能達到2億.

（2）甲建立的回歸模型的殘差：

	5.6	6.5	12.0	27.5	80.0	129.2
	4	8	16	32	64	128
	1.6	-1.5	-4	-4.5	16	1.2

則，從而，

即甲建立的回歸模型擬合效果更好.