Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實數解、、（），求證：.

Answer 1

【答案】（1）①當時， 在單調遞增,②當時，單調遞增區間為,,單調遞減區間為

（2）證明見解析

【解析】

（1）先求解導函數，然后對參數分類討論，分析出每種情況下函數的單調性即可；

（2）根據條件先求解出的值，然后構造函數分析出之間的關系，再構造函數分析出之間的關系，由此證明出.

（1），

①當時，恒成立，則在單調遞增

②當時，令得，

解得，

又，∴

∴當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

（2）依題意得，，則

由（1）得，在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增

∴若方程有三個實數解，

則

法一：雙偏移法

設，則

∴在上單調遞增，∴，

∴，即

∵，∴，其中，

∵在上單調遞減，∴，即

設，

∴在上單調遞增，∴，

∴，即

∵，∴，其中，

∵在上單調遞增，∴，即

∴.

法二：直接證明法

∵，，在上單調遞增，

∴要證，即證

設，則

∴在上單調遞減，在上單調遞增

∴，

∴，即

（注意：若沒有證明，扣3分）

關于的證明：

（1）且時，（需要證明），其中

∴

∴

∴

（2）∵，∴

∴，即

∵，，∴，則

∴