Question

【題目】已知數列的前項和為，且．

（1）若為等差數列，且

①求該等差數列的公差；

②設數列滿足，則當為何值時，最大？請說明理由；

（2）若還同時滿足：

①為等比數列;

②；

③對任意的正整數存在自然數，使得、、依次成等差數列，試求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）①；②當或時，最大；（2）.

【解析】

（1）①利用等差數列的通項公式及前項和公式，建立方程組，即可求得該等差數列的公差；

②求出的通項公式，進而得到的通項公式，利用，判斷的單調性，進而得解；

（2）根據等比數列的性質，并結合，初步確定的通項，再根據等差數列的性質，即可求得的通項公式.

（1）①由，，

得﹐解得，，

該等差數列的公差.

②由①知，所以，

則，

所以，且當 時，單調遞增，當時，單調遞減，

故當或時，最大.

（2）因為是等比數列，則，

又，

所以或，

由，得，解得，

由，得，解得，

從而或或或，

又因為、、依次成等差數列，得，而公比，

所以，即，

從而（*）

當時，（*）式不成立；

當時，解得；

當時，（*）式不成立；

當時，（*）式不成立．

綜上所述，滿足條件的.