Question

【題目】已知兩點,直線相交于點,且這兩條直線的斜率之積為．

(1)求點的軌跡方程;

(2)記點的軌跡為曲線,曲線上在第一象限的點的橫坐標為,過點且斜率互為相反數的兩條直線分別交曲線于,求直線的斜率(其中點為坐標原點)．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）.

【解析】試題分析：本題主要考查點的軌跡方程、橢圓方程、直線的方程與斜率、直線與圓錐曲線的位置關系,考查了轉化思想與邏輯推理能力.(1) 設點,由題意可得=,化簡可得曲線的方程: =;(2) 由題意可得點,直線與直線的斜率互為相反數,設直線的方程為= ,聯立橢圓方程,由根與系數的關系式求出點P的坐標,同理求出點Q的坐標,再利用直線的斜率公式化簡可得結論.

試題解析：

(1)設點,

∵=,

∴=,

整理得點所在的曲線的方程: =.

(2)由題意可得點,

直線與直線的斜率互為相反數,

設直線的方程為= ,與橢圓方程聯立,消去,

得: =,

由于=是方程的一個解,

所以方程的另一解為=,

同理,

故直線的斜率為:

====.