Question

【題目】如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.

（1）求證：；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連結，易證四邊形為平行四邊形，即，由于，為的中點，可得到，從而得到，即可證明平面，從而得到；（Ⅱ）易證，，兩兩垂直，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，設與平面所成角為，則，即可得到答案。

解：（Ⅰ）取的中點為，連結.

由是三棱臺得，平面平面，從而.

∵，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

∵，為的中點，

∴，∴.

∵平面平面，且交線為，平面，

∴平面，而平面，

∴.

（Ⅱ）連結.

由是正三角形，且為中點，則.

由（Ⅰ）知，平面，，

∴，，

∴，，兩兩垂直.

以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，則，，，，

∴，，.

設平面的一個法向量為.

由可得，.

令，則，，∴.

設與平面所成角為，則.