Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的最大值；

（2）若函數與有相同極值點．

①求實數的值；

②若對于（為自然對數的底數），不等式恒成立，

求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）．

【解析】

試題（1）求導函數，確定函數的單調性，從而得函數的最大值；（2）（ⅰ）求導函數，利用函數與有相同極值點，可得是函數的極值點，從而求解的值；（ⅱ）先求出，，，，，再將對于，不等式恒成立，等價變形，分類討論，即可求解實數的取值范圍．

試題解析：（1），

由得，由得，

∴在上為增函數，在上為減函數，

∴函數的最大值為；

（2）∵，∴，

（Ⅰ）由（1）知，是函數的極值點，又∵函數與有相同極值點，

∴是函數的極值點，∴，解得，

經檢驗，當時，函數取到極小值，符合題意；

（ⅱ）∵，，， ∵， 即，∴，，

由（ⅰ）知，∴，當時，，當時，，

故在為減函數，在上為增函數，∵，

而，∴，∴，，

①當，即時，對于，不等式恒成立

，

∵，∴，又∵，∴，

②當，即時，對于，不等式，

，

∵，∴，又∵，

∴．綜上，所求的實數的取值范圍為．