Question

如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=

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2

AB，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°．
（1）求證：DE⊥PC；
（2）求直線PD與平面BCDE所成角的大小；
（3）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意CD∥AB，得到∠BAC=∠ACD，再有變長的相等的角的相等及特殊的三角形得到線線垂直，在有線線垂直的線面垂直進而推出線線垂直；
（2）利用二面角的平面角定義找到二面角的平面角，然后在Rt△POD中解出二面角的大小即可；
（3）利用線面平行進而把點D轉化為點F到面得距離，在利用面面垂直得到垂足的位置，然后在三角形中解出所求線段的長度．

解答：證明：（1）連接AC交DE于F，連接PF，
∵CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD，
又∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD，
∴∠BAC=∠DAC，即CA平分∠BAD，
∵△ADE是正三角形，
∴AC⊥DE，即PF⊥DE，CF⊥DE，
∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC
（2）解：過P作PO⊥AC于O，連接OD，設AD=DC=CB=a，則AB=2a，
∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，∴PO⊥面BCDE，
∴∠PDO就是直線PD與平面BCDE所成的角．
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，
∴∠PFO=60°，在Rt△POD中，sin∠PDO=

PO

PD

=

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4

，∴直線PD與平面BCDE所成角是arcsin

3

4

（3）解：∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D點到面PBC的距離即為點F到面PBC的距離，過點F作FG⊥PC，垂足為G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的長即為點F到面PBC的距離，菱形ADCE中，AF=FC，
∴PF=CF=

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a，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，
∴FG=

1

2

PF=

3

4

a

點評：此題重點考查了學生的空間想想能力，還考查了利用線面平行的性質，把要求的點到面得距離轉化為易求的點到面得距離，并利用面面垂直找到點在面內的垂足的位置，此外還考查了學生利用反三角函數的知識表示角的大小．