Question

(本小題滿分12分)

已知數列{a_n}的前n項和S_n=12n－n²，求數列{|a_n|}的前n項和T_n.

剖析：由S_n=12n－n²知S_n是關于n的無常數項的二次函數（n∈N^*），可知{a_n}為等差數列，求出a_n，然后再判斷哪些項為正，哪些項為負，最后求出T_n.

 

Answer 1

【答案】

 

解：當n=1時，a₁=S₁=12－1²=11；

當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=12n－n²－［12（n－1）－（n－1）²］=13－2n.

∵n=1時適合上式，

∴{a_n}的通項公式為a_n=13－2n.

由a_n=13－2n≥0，得n≤，

即當 1≤n≤6（n∈N^*）時，a_n＞0；當n≥7時，a_n＜0.

（1）當 1≤n≤6（n∈N^*）時，

T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=12n－n².

（2）當n≥7（n∈N^*）時，

T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=（a₁+a₂+…+a₆）－（a₇+a₈+…+a_n）=－（a₁+a₂+…+a_n）+2（a₁+…+a₆）

=－S_n+2S₆=n²－12n+72.∴T_n= 

 

【解析】略