Question

【題目】已知函數，，其中．

討論函數與的圖象的交點個數；

若函數與的圖象無交點，設直線與的數和的圖象分別交于點P，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見證明

【解析】

原問題等價于求解方程根的個數，據此構造函數，分類討論即可確定交點的個數；由可知，當函數與的圖象無交點時，，據此構造函數證明題中的不等式即可．

函數與的圖象交點個數即方程根的個數，

設，．

則在上單調遞增，且．

當時，，則在上單調遞減；

當時，，，則在上單調遞增．

所以，當時，．

當，即時，函數無零點，即函數與的圖象無交點；

當時，函數有一個零點，即函數與的圖象有一個交點；

當時，又．

，所以在和上分別有一個零點．

所以，當時，有兩個零點，即函數與的圖象有兩個交點．

綜上所述：當時，函數與的圖象的交點個數為0；

當時，函數與的圖象的交點個數為1；

當時，函數與的圖象的交點個數為2．

由可知，當函數與的圖象無交點時，．

設，，由得，由得，

．

設，

先證明不等式，再證明，．

設則．

當時，，在上單調遞增，

當時，，在上單調遞減，

所以，即．

設則．

當時，，單調遞減：

當時，，單調遞增．

所以，即．

所以．

因為時，中等號成立，時，中等號成立，

而，所以等號不能同時成立．

所以．

所以．