Question

【題目】如圖，等腰梯形中，，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置（平面）.

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，設的中點為，可證，，由線面垂直的判定定理可知平面，于是即可證明；

（2）由勾股定理可證，建立空間坐標系，求出兩半平面的法向量，計算法向量的夾角，由此即可求出二面角的大小．

（1）連接，

設的中點為，

∵，，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

∴，為等邊三角形，

∴，，折疊后，，

又，∴平面，

又平面，∴.

（2）由已知得，

又，∴，，

又，，則平面，

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

則，，，

∴，，

設平面的一個法向量為，

則，即，

令得，

又平面，∴為平面的一個法向量，

設二面角為，則，

由圖可知二面角為鈍角，所以.