Question

已知函數f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，設集合M={m|?x∈R，f（x）與g（x）的值中至少有一個為正數}．
（Ⅰ）試判斷實數0是否在集合M中，并給出理由；
（Ⅱ）求集合M．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當m≤0時，顯然不成立；當m＞0時，因為f（0）=1＞0，所以僅對對稱軸進行討論即可；
（Ⅱ）當m＞0時，g（x）=mx在x∈（0，+∞）時恒為正；當m＜0時，g（x）=mx在x∈（-∞，0）時恒為正．分別得到m的關系式，解不等式即可得到m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵m=0時，f（x）=-8x+1，g（x）=0，f（x）的值不恒為0．
∴0∉M．
（Ⅱ）①當m＞0時，g（x）=mx在x∈（0，+∞）時恒為正，
∴f（x）=2mx²-2（4-m）x+1＞0對x≤0恒成立．
∴

△=4(4-m)2-8m≥0 4-m 2 ≥0

或△＜0，
解得 0＜m＜8．
②當m＜0時，g（x）=mx在x∈（-∞，0）時恒為正，
∴f（x）=2mx²-2（4-m）x+1＞0對x≥0恒成立．
∵f（x）的圖象開口向下且過點（0，1），
∴m∈?．
綜上，m的取值范圍是（0，8）．

點評：本題主要考查對一元二次函數圖象的理解．對于一元二次不等式，一定要注意其開口方向、對稱軸和判別式．