Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）．設與的交點為，當變化時，的軌跡為曲線．

（1）求的普通方程；

（2）設為圓上任意一點，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）．

【解析】

（1）消元法消去參數得的普通方程，同理表示的普通方程，最后將其消去整理后可得答案；

（2）由橢圓的參數方程表示其上任意點的坐標，由兩點間的距離公式表示，再由三角函數求的值域確定最大值，最后開方即可.

解法一：（1）消去參數得的普通方程為，

消去參數得的普通方程為．

聯立消去得，

所以的普通方程為（）．

（2）依題意，圓心的坐標為，半徑．

由（1）可知，的參數方程為（為參數，且），

設（），則

，

當時，取得最大值，

又，當且僅當三點共線，且在線段上時，等號成立．

所以．

解法二：（1）消去參數得的普通方程為，

消去參數得的普通方程為．

由得

故的軌跡的參數方程為（為參數），

所以的普通方程為（）．

（2）同解法一．