Question

【題目】已知曲線上的點到點的距離比到直線的距離小.

(1)求曲線的方程；

(2)設為曲線上任意一點，點，問是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓是的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在，直線的方程為，定值為

【解析】

(1)根據題意可知，曲線上的點到點的距離與到直線的距離相等，結合拋物線的定義，即可得到答案；

(2) 設直線方程為，，直線與以為直徑的圓的交點為，，因為直線垂直于軸，故弦長為，因此根據圓的直徑式方程寫出以為直徑的圓的方程將代入，利用根與系數關系求出，代入弦長，可求得，令即可得到答案．

(1)依題意得，曲線上的點到點的距離與到直線的距離相等.

所以曲線的方程為：.

(2)假設滿足條件的直線存在，其方程為，，

則以為直徑的圓的方程為，

將直線方程代入，得，

則.

設直線與以為直徑的圓的交點為，，

則，，

于是有.

當，即時，為定值.

故滿足條件的直線存在，其方程為.