Question

設a，b，c分別為△ABC的三內角A，B，C的對邊．求證：方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件是∠A=90°．

Answer 1

分析：要證明方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件是A=90°，我們要分充分性和必要性兩部分證明，充分性證明，即假設A=90°成立證明方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根，必要性的證明，設方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0的公共根為m，證明A=90°，兩們部分均成立才能得結論．

解答：證明：充分性：當A=90°時，a²=b²+c²．…（2分）
于是x²+2ax+b²=0?x²+2ax+a²-c²=0?[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
該方程有兩根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．…（5分）
同樣，x²+2cx-b²=0?[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
該方程亦有兩根x₃=-（c+a），x₄=-（c-a）．…（7分）
顯然x₁=x₃，兩方程有公共根．…（8分）
必要性：設方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0的公共根為m，…（9分）
則

m2+2am+b2=0    (1) m2+2cm-b2=0    (2)

…（11分）
（1）+（2）得m=-（a+c）．（m=0舍去）．…（13分）
將m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]²+2a•[-（a+c）]+b²=0，
整理得a²=b²+c²．…（15分）
所以A=90°．
故結論成立．…（16分）

點評：本題考查的是充要條件的證明，有關充要條件的證明問題，要分兩個環節：一是充分性；二是必要性，屬于中檔題．