Question

給出下列三個命題：
①若奇函數f（x）對定義域內任意x都有f（x）=f（2-x），則f（x）為周期函數；
②若函數f（x）=2^x，g（x）=log₂x，則函數y=f（2x）與y=

1

2

g（x）的圖象關于直線y=x對稱；
③函數y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

與y=lntan

x

2

是同一函數． 其中真命題的個數是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據奇函數的性質及已知中f（x）=f（2-x）恒成立，可得f（x）=f（x-4），進而由函數周期性的定義，判斷出①的真假；由已知條件分別求出函數y=f（2x）與y=

1

2

g（x）的解析式，再由同底的指數函數和對數互為反函數，判斷出②的真假；化簡函數y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

的解析式，后比照兩個函數的解析式和定義域，可判斷③的真假，進而得到答案．

解答：解：①正確：
∵函數f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=-f（x-2）=-[-f（x-2-2）=f（x-4），
∴f（x）為以4為周期的周期函數；
②正確：
∵函數f（x）=2^x，g（x）=log₂x，
∴y=f（2x）=4^x，y=

1

2

g（x）=log₄x，
即y=f（2x）與y=

1

2

g（x）互為反函數，
其圖象關于直線y=x對稱；
③錯誤：
y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

=y=ln|tan

x

2

|．
故選C

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，判斷兩個函數是否為同一函數，函數的周期性，其中③中易忽略(a2)

1

2

=

a2

=|a|，而錯判為正確，從而錯選D．