Question

【題目】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，圓臺的側面積為.若點分別為圓上的動點，且點在平面的同側.

（1）求證:；

（2）若，則當三棱錐的體積取最大值時，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據圓臺側面積公式可以求出上下兩底面的半徑，根據線面垂直的性質、直角三角形的判斷方法進行證明即可；

（2）根據三棱錐的體積公式，結合基本不等式確定點位置，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

（1）證明:設圓的半徑分別為

因為圓臺的側面積為，

所以，可得

因此，在等腰梯形中，.

如圖，連接線段，

在圓臺中，平面平面，

所以.

又，

所以在中，.

在中，，

故，即.

（2）解:由題意可知，三棱錐的體積為

又在直角三角形中，

所以當且僅當，

即點為弧的中點時，有最大值

連接，因為平面，

所以以為坐標原點，

分別以的方向為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

點，

由可知，

設平面的法向量

則，，

取，

則

所以與平面所成角的正弦值為